tokoh matika

Leonhard Euler

Adalah Johann Bernoulli yang menyarankan Euler(1707-1783) untuk beralih profesi, karena melihat kecakapannya di bidang matematika. Mulanya matematikawan ini belajar teologi pada Universitas Swiss di Basel. Karya Euler banyak menjadi landasan bagi topologi, yaitu matematika yang mempelajari bagaimana suatu bentuk dapat diubah menjadi bentuk lain, tanpa robekan. Dalam kacamata topologi, kue donat serupa dengan cangkir kopi, karena hanya memperhatikan keterkaitan antar elemen, dan bukan jaraknya.

Dua teka-teki yang menjadi bagian dari teori jejaring(salah stau bentuk topologi paling praktis) adalah masalah jembatan Konigsberg dan bidang polihedron. Teka-teki pertama menyangkut bagaimana warga
kota Konnigsberg tak dapat melewati ketujuh jembatan yang menghubungkan 4 daerah, tanpa kembali melalui salah satu diantaranya.

Teka-teki kedua terkait bagaimana polihedron dapat diterangkan sebagai jaringan titik dan garis dengan tiga matra. Telaah Euler menghasilkan penemuan, berapa pun banyaknya muka pada bentuk seperti itu, antara jumlah titik, pinggir, serta bidangnya ada hubungan yang dapat dihitung sebelumnya, yang dikenal dengan rumus Euler.

kaRieR necH

Matematika & Karir

pertanyaan klasik yang kerap ditemui mahasiswa departemen Matematika adalah, “Kalau lulus kerja dimana?” Mungkin pertanyaan ini tak sepenuhnya milik departemen matematika, karena setiap tahun ada ribuan lulusan dari berbagai perguruan tinggi yang akan saling bersaing untuk memperoleh pekerjaan. Namun matematika seringkali dipandang lebih sulit untuk bersaing, salah satu alasan yang melatarbelakangi pandangan ini adalah matematika dianggap abstrak dan tidak terkait langsung dengan kebutuhan pasar.

Implikasi dari pandangan ini adalah, mahasiswa lulusan matematika umumnya masih terperangkap pada jenis pekerjaan sejenis, seperti keuangan dan statistika. Berikut ini dipaparkan beberapa bidang pekerjaan yang membuka diri untuk dimasuki oleh matematikawan:
1.Statistika
Bidang ini mungkin adalah bidang yang paling umum dikaitkan dengan matematika. Hal ini disebabkan statistik mempunyai aplikasi yang luas, baik di bidang industri maupun di bidang sosial serta sudah diakui manfaatnya. Di bidang industri, statistik biasanya dipakai sebagai alat untuk membantu melakukan kontrol agar produk yang dihasilkan mempunyai / memenuhi standar kualitas yang diinginkan dengan tingkat biaya yang minimum.
Aplikasi statistik di bidang sosial sudah lebih terkenal dan lebih dahulu dibandingkan aplikasi statistik di bidang industri. Aplikasi yang paling dikenal adalah aplikasi statistik untuk kegiatan survey dan quesioner. Aplikasi inilah yang paling dikenal oleh masyarakat karena banyak pihak yang memanfaatkan kegiatan survey dan quesioner untuk kepentingannya, seperti mengetahui tingkat kepuasan konsumen terhadap suatu produk.
Selain yang sudah disebutkan di atas, masih banyak aplikasi lain dari statistik, seperti process control, business control, dan lain-lain.
2. Analisis
Selain statistik, bidang aplikasi matematik yang lain adalah analisis. Sering kali orang menyangka kalau bidang analisis ditujukan untuk menghasilkan formula matematika yang baru hasil dari formula yang sudah ada. Setidaknya, orang biasa berpikir kalau analisis hanya mengurusi masalah intern matematika. Padahal analisis pun bisa di aplikasikan ke bidang sosial.
Salah satu aplikasi analisis yang sudah mulai populer adalah analisis di bidang pemasaran. Analisis ini ditujukan untuk memperoleh gambaran yang dapat diandalkan tentang bauran pemasaran dari suatu produk. Dengan mengetahui hal ini, perusahaan akan bisa memutuskan kapasitas produksi serta target penjualan yang realistis sehingga keuntungan yang diraih akan maksimal. Analisis pemasaran juga bisa dimanfaatkan untuk menentukan apakah suatu produk baru bisa diterima oleh pasar atau tidak.
Selain yang sudah disebut diatas, tentu saja masih terdapat aplikasi lain dari analisis matematik seperti analisis kemampuan suatu industri / proses untuk memenuhi standar yang telah ditetapkan, dan lain-lain.
3. Mathematical Modelling
Pemodelan matematika mungkin merupakan bidang yang relatif baru dikenal namun sudah banyak pihak yang berminat untuk memanfaatkannya. Aplikasi dari mathematical modelling / pemodelan matematika sangat luas dan bisa merambah ke dalam berbagai jenis industri. Selama yang ingin dimodelkan terdefinisi dengan jelas, maka model matematikanya pasti akan dapat ditemukan.
Industri yang sangat giat memakai pemodelan matematika adalah industri yang bergerak di bidang minyak dan gas bumi (setidaknya itulah yang diketahui oleh penulis). Lembaga-lembaga yang menyediakan jasa pemodelan matematika dimanfaatkan dengan baik oleh pelaku di bidang industri migas.
Dari pengalaman selama ini, pemodelan matematika mempunyai prospek yang sangat cerah dan menjanjikan bisnis dengan keuntungan yang menggiurkan.
4. Pemrograman
Pemrograman adalah bidang yang sudah lama berkembang seiring perkembangan di bidang elektronika, terutama komputasi. Orang sering kali berpikir kalau pemrograman tidak berhubungan dengan matematika dan hany bisa dilakukan oleh orang yang berkecimpung di bidang teknik, seperti elektronika dan komputasi. Padahal pemrograman sangat mengandalkan keteraturan berpikir yang sangat khas dengan matematika.
Pemrograman pada dasarnya adalah aplikasi praktis dari salah satu bidang dasar dari matematika, yaitu aljabar. Inilah yang sering kali tidak disadari, apalagi aljabar biasanya adalah bidang yang sering kali dihindari.
Aplikasi aljabar yang umum di kenal adalah dalam masalah pengkodean suatu pesan berupa huruf, angka, atau simbol kedalam bentuk bilangan biner sehingga bisa didefinisikan oleh aliran listrik.
5. Aktuaria
Aktuaria mungkin adalah bidang yang relatif masih sangat baru, namun aplikasinya dengan cepat diketahui oleh industri terkait sehingga permintaan terhadap keahlian di bidang ini makin lama semakin bertambah.
Industri yang biasa memanfaatkan aktuaria antara lain adalah industri asuransi. Asuransi memanfaatkan aktuaria untuk menghitung kelayakan seorang calon nasabah untuk membuat polis asuransi. Hal in dilakukan agar pihak industri tidak menanggung resiko yang terlalu besar sehingga akan menyebabkan industri tersebut goyah dan merugi.
Selain dibidang asuransi, aktuaria juga di manfaatkan di bidang perbankan dan keuangan.

menghadapi kesulitan matematika

Belajar Matematika

beberapa alasan yang menyebabkan pelajar menghadapi kesulitan dalam belajar matematika adalah:

1. Kurangnya instruksi yang lengkap dan tepat.
2. Generalisasi
3. Aspek mental
4. Kurang latihan
5. Kurangnya pemahaman
6. Kurang motivasi

Di matematika sendiri ada beberapa cabang. Bagi yang senang teka-teki bisa mengambil komputasi aatupun graf. Dalam domain tersebut kental dengan nuansa logika. Dalam bentuk yang lebih abstrak ada analisis. Hal yang lucu dari analisis adalah ketika saya berkutat di dalamnya, saya sering mendengar masalah nilai awal di persamaan diferensial. Kenapa dinamakan masalah, saya tidak tahu. Baru belakangan ketika membaca mengenai teori chaos saya baru mengetahui mengapa nilai awal menjadi bermasalah.

Cara lain adalah dengan menyukai orang-orang yang terlibat dalam matematika, hingga terbangun motivasi untuk mempelajari mate

TokoH-toKoh Matematika

1. Rene Deskartes (prancis 1596-1650 M)
Dalam karyanya La geometrie,Descartes memperlihatkan bahwa sepasang garis lirus yang berpotongan dapat digunakan untuk memperlihatkan posii titik pada sebuah bidang.untuk menghormatinya,konsep tersebut dinamakan sistem koordinat cartesius.dengan sistem ini,muncullah cabang matematika baru,yaitu geometri analitik.

2. Leonhard Eulerd (swiss 1707-1783 M)
Euler adalah salah satu ahli matematika terkemuka sepanjang masa.Geometri dan kalkualus mencatat banyak sekali pemikirannya,tapi yang paling utam Euler telah menyelidiki suatu bidang baru yang dinamakan topologi

3.John Napier ( skotlandia 1550-1617 M)
Ide tentang logaritma ditemukan oLeH bangsawan dari Merchiston ini.Dengan bantuan logaritma,perhitunagan yang melibatkan bilangan-bilangan besar dapat dipermudah.

4.Carl F.Gauss ( Jerman 1777-1855 M )
Gauss adaLah salah seorang dari tiga ahli matematika besar sepanjang masa selain Archimedes dan newton.Pada umur sepuluh tahun,dia membuat gurunya terkagum-kagum dengan memberikan rumus untuk menghitung deret 1+2+3+...+100

SejAraH MaTematiKa

Kata "matematika" berasal dari kata μάθημα(máthema) dalam bahasa Yunani yang diartikan sebagai "sains, ilmu pengetahuan, atau belajar" juga μαθηματικός (mathematikós) yang diartikan sebagai "suka belajar".

Disiplin utama dalam matematika didasarkan pada kebutuhan perhitungan dalam perdagangan, pengukuran tanah dan memprediksi peristiwa dalam astronomi. Ketiga kebutuhan ini secara umum berkaitan dengan ketiga pembagian umum bidang matematika: studi tentang struktur, ruang dan perubahan.

Pelajaran tentang struktur dimulai dengan bilangan, pertama dan yang sangat umum adalah bilangan natural dan bilangan bulat dan operasi arimetikanya, yang semuanya itu dijabarkan dalam aljabar dasar. Sifat bilangan bulat yang lebih mendalam dipelajari dalam teori bilangan. Investigasi metode-metode untuk memecahkan persamaan matematika dipelajari dalam aljabar abstrak, yang antara lain, mempelajari tentang ring dan field, struktur yang menggeneralisasi sifat-sifat yang umumnya dimiliki bilangan. Konsep vektor, digeneralisasi menjadi vektor ruang dipelajari dalam aljabar linier, yang termasuk dalam dua cabang: struktur dan ruang.

Ilmu tentang ruang berawal dari geometri, yaitu geometri Euclid dan trigonometri dari ruang tiga dimensi (yang juga dapat diterapkan ke dimensi lainnya), kemudian belakangan juga digeneralisasi ke geometri Non-euclid yang memainkan peran sentral dalam teori relativitas umum. Beberapa permasalahan rumit tentang konstruksi kompas dan penggaris akhirnya diselesaikan dalam teori Galois. Bidang ilmu modern tentang geometri diferensial dan geometri aljabar menggeneralisasikan geometri ke beberapa arah:: geometri diferensial menekankan pada konsep fungsi, buntelan, derivatif, smoothness dan arah, sementara dalam geometri aljabar, objek-objek geometris digambarkan dalam bentuk sekumpulan persamaan polinomial. Teori grup mempelajari konsep simetri secara abstrak dan menyediakan kaitan antara studi ruang dan struktur. Topologi menghubungkan studi ruang dengan studi perubahan dengan berfokus pada konsep kontinuitas.

Mengerti dan mendeskripsikan perubahan pada kuantitas yang dapat dihitung adalah suatu yang biasa dalam ilmu pengetahuan alam, dan kalkulus dibangun sebagai alat untuk tujauan tersebut. Konsep utama yang digunakan untuk menjelaskan perubahan variabel adalah fungsi. Banyak permasalahan yang berujung secara alamiah kepada hubungan antara kuantitas dan laju perubahannya, dan metoda untuk memecahkan masalah ini adalah topik dari persamaan differensial. Untuk merepresentasikan kuantitas yang kontinu digunakanlah bilangan riil, dan studi mendetail dari sifat-sifatnya dan sifat fungsi nilai riil dikenal sebagai analisis riil. Untuk beberapa alasan, amat tepat untuk menyamaratakan bilangan kompleks yang dipelajari dalam analisis kompleks. Analisis fungsional memfokuskan perhatian pada (secara khas dimensi tak terbatas) ruang fungsi, meletakkan dasar untuk mekanika kuantum di antara banyak hal lainnya. Banyak fenomena di alam bisa dideskripsikan dengan sistem dinamis dan teori chaos menghadapi fakta yang banyak dari sistem-sistem itu belum memperlihatkan jalan ketentuan yang tak dapat diperkirakan.

Agar menjelaskan dan menyelidiki dasar matematika, bidang teori pasti, logika matematika dan teori model dikembangkan.

Saat pertama kali komputer disusun, beberapa konsep teori yang penting dibentuk oleh matematikawan, menimbulkan bidang teori komputabilitas, teori kompleksitas komputasional, teori informasi dan teori informasi algoritma. Kini banyak pertanyaan-pertanyaan itu diselidiki dalam ilmu komputer teoritis. Matematika diskret ialah nama umum untuk bidang-bidang penggunaan matematika dalam ilmu komputer.

Bidang-bidang penting dalam matematika terapan ialah statistik, yang menggunakan teori probabilitas sebagai alat dan memberikan deskripsi itu, analisis dan perkiraan fenomena dan digunakan dalam seluruh ilmu. Analisis bilangan menyelidiki teori yang secara tepat guna memecahkan bermacam masalah matematika secara bilangan pada komputer dan mengambil kekeliruan menyeluruh ke dalam laporan.setau saya 1 ditambah 1 sama dengan 10

RumUs necH

Limit Fungsi Trigonometri Matematika Kelas 3 > Limit 433 KETENTUAN Untuk x <<< ( x ® 0 ) maka sin x » x (x <<<> » setara ) l i m sin x = 1 l i m tg x = 1 x ® 0 x x ® 0 x l i m x = 1 l i m x = 1 x ® 0 sin x x ® 0 tg x PERLUASAN l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b x ® 0 bx x ® 0 bx l i m ax = a/b l i m ax = a/b x ® 0 sin bx x ® 0 tg bx l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b x ® 0 sin bx x ® 0 tg bx l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b x ® 0 tg bx x ® 0 sin bx Rumus-rumus trigonometri yang sering digunakan untuk merubah fungsi: cos x = sin (90° - x) ctg x = tg (90° - x) sin ax = 2 sin ½ax cos ½ax cos ax = 1- 2 sin² ½ax cos²x = 1 - sin²x HAL-HAL KHUSUS l i m axm + bxm-1 + .... = x ® ¥ pxn + qxn-1 + ... ¥ untuk m > n ; a/p untuk m =n ; 0 untuk m <> l i m Öax2 + bx + c - Ödx2 + ex + f x ® ¥ ¥ untuk a > d ; b-e untuk m =n ; 2Öa -¥ untuk a <> Bila salah satu suku belum berbentuk tanda akar maka dibentuk dengan cara mengkuadratkan kemudian menarik tanda akar. DALIL L'HOSPITAL Jika fungsi f dan g masing-masing terdifferensir pada titik x= a dan f(a) = g(a) = 0 atau f(a) = g(a) = ¥ maka l i m f(x) = l i m f(x) x ® ¥ g(x) x ® a g(x) CONTOH LIMIT FUNGSI ALJABAR 1. l i m x2 - 5x + 6 = (3)2 - 5(3) + 6 = 0 x ® 3 2. l i m 3x - 2 = ¥ (*) Uraikan x ® ¥ 2x + 1 ¥ x(3 - 2/x) = 3 - 2/x = 3 - 0 = 3 x(2 - 1/x) 2 + 1/x 2 - 0 2 atau langsung gunakan hal khusus 3. l i m x2 - x - 1 = ¥ (*) Uraikan x ® ¥ 10x + 9 ¥ x(x - 1 - 1/x) = x - 1 - 1/x = ¥ - 1 - 0 = ¥ =¥ x(10 - 9/x) 10 + 9/x 10 + 0 10 atau langsung gunakan hal khusus 4. l i m x2 - 3x + 2 = 0 (*) Uraikan x ® 2 x2 - 5x + 6 0 (x - 1)(x - 2) = (x - 1) = 2 - 1 = -1 (x - 3)(x - 2) = (x - 3) = 2 - 3 atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial 5. l i m x3 - 3x2 + 3x - 1 = 0 (*) Uraikan x ® 1 x2 - 5x + 6 0 (x - 1)3 = (x - 1)2 = (1 - 1)2 = 0 (x - 1) (x - 5) (x + 5) (1 + 5) 6 atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial 6. l i m Ö2 + x - Ö2x = 0 (*) Hilangkan tanda akar dengan x ® 2 x - 2 0 mengalikan bentuk sekawan (x - 1)3 = (x - 1)2 = (1 - 1)2 = 0 = 0 (x - 1) (x - 5) (x + 5) (1 + 5) 6 atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial 7. l i m (3x - Ö9x2 + 4x) = ¥ - ¥ (*) Hilangkan tanda akar x ® ¥ l i m (3x - Ö9x2 + 4x ) = é 3x - Ö9x2 + 4x ù = (*) Hilangkan tanda x ® ¥ ë 3x - Ö9x2 + 4x û akar l i m (9x2 - (9x2 + 4x) = l i m -4x = x ® ¥ 3x + Ö(9x2 + 4x) x ® ¥ 3x + 3x Ö[1+(a/9x)] l i m -4 = -4 = -2 x ® ¥ 3 + 3Ö(1 + 0) 6 3 atau langsung gunakan hal khusus CONTOH LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI 1. l i m sin 2x = 0 (*) x ® 0 tg 3x 0 sin 2x = 3x 2 = 1 . 1 . 2 = 2 2x tg 3x 3 3 3 2. l i m 1 - cos 2x = 0 x ® 0 sin 2x 0 1 - (1 - 2 sin² 2x) = 2 sin² x = sin x = tg x = 0 2 sin x cos x 2 sin x cos cos x 3. l i m 1 - cos x = 0 x ® 0 3x² 0 2 sin² (½x) = sin (½x) . sin (½x) = 1 . 1 . 1 = 1 3 . 4 . (½x) 6 (½x) (½x) 6 6 atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial 4. l i m sin x - sin a = 0 (*) x ® 0 x - a 0 2 cos ½(x+a) sin ½(x-a) = cos ½(x+a) . sin ½(x-a) = x - a ½ (x - a ) cos ½(x+a) . 1 = cos ½(a+a) . 1 = cos a atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial

maTematiKa pisaN

Matematika

Matematika secara umum ditegaskan sebagai penelitian pola dari struktur, perubahan, dan ruang; tak lebih resmi, seorang mungkin mengatakan adalah penelitian bilangan dan angka'. Dalam pandangan formalis, matematika adalah pemeriksaan aksioma yang menegaskan struktur abstrak menggunakan logika simbolik dan notasi matematika; pandangan lain tergambar dalam filosofi matematika.

Struktur spesifik yang diselidiki oleh matematikus sering mempunyai berasal dari ilmu pengetahuan alam, sangat umum di fisika, tetapi mathematikus juga menegaskan dan menyelidiki struktur untuk sebab hanya dalam saja sampai ilmu pasti, karena struktur mungkin menyediakan, untuk kejadian, generalisasi pemersatu bagi beberapa sub-bidang, atau alat membantu untuk perhitungan biasa. Akhirnya, banyak matematikus belajar bidang dilakukan mereka untuk sebab yang hanya estetis saja, melihat ilmu pasti sebagai bentuk seni daripada sebagai ilmu praktis atau terapan.

Apakah matematika?

Pengertian matematika sangat sulit didefinsikan secara akurat. Pada umumnya orang awam hanya akrab dengan satu cabang matematika elementer yang disebut aritmatika atau ilmu hitung yang secara informal dapat didefinisikan sebagai ilmu tentang berbagai bilangan yang bisa langsung diperoleh dari bilangan-bilangan bulat 0, 1, -1, 2, - 2, ..., dst, melalui beberapa operasi dasar: tambah, kurang, kali dan bagi.

Silakan baca kutipan-kutipan lama atau kuno di:

• Is Mathematics Beautiful?
• Do We Need Mathematics?

[sunting] Matematika sebagai Raja dan sekaligus Pelayan

Ada pendapat terkenal yang memandang matematika sebagai pelayan dan sekaligus raja dari ilmu-ilmu lain. Sebagai pelayan, matematika adalah ilmu dasar yang mendasari dan melayani berbagai ilmu pengetahuan lain. Sejak masa sebelum masehi, misalnya jaman Mesir kuno, cabang tertua dan termudah dari matematika (aritmatika) sudah digunakan untuk membuat piramida, digunakan untuk menentukan waktu turun hujan, dsb.

Sebagai raja, perkembangan matematika tak tergantung pada ilmu-ilmu lain. Banyak cabang matematika yang dulu biasa disebut matematika murni, dikembangkan oleh beberapa matematikawan yang mencintai dan belajar matematika hanya sebagai hoby tanpa memperdulikan fungsi dan manfaatnya untuk ilmu-ilmu lain. Dengan perkembangan teknologi, banyak cabang-cabang matematika murni yang ternyata kemudian hari bisa diterapkan dalam berbagai ilmu pengetahuan dan teknologi mutakhir.

Apakah matematika ilmu yang 'sulit'?

Secara umum, semakin kompleks suatu fenomena, semakin kompleks pula alat (dalam hal ini jenis matematika) yang melalui berbagai perumusan (model matematikanya) diharapkan mampu untuk mendapatkan atau sekedar mendekati solusi eksak seakurat-akuratnya.

Jadi tingkat kesulitan suatu jenis atau cabang matematika bukan disebabkan oleh jenis atau cabang matematika itu sendiri, tetapi disebabkan oleh sulit dan kompleksnya fenomena yang solusinya diusahakan dicari atau didekati oleh perumusan (model matematikanya) dengan menggunakan jenis atau cabang matematika tersebut.

Sebaliknya berbagai fenomena fisik yg mudah di amati, misalnya jumlah penduduk di seluruh Indonesia, tak memerlukan jenis atau cabang matematika yang canggih. Kemampuan aritmatika sudah cukup untuk mencari solusi (jumlah penduduk) dengan keakuratan yang cukup tinggi.

Matematika sebagai bahasa

Di manakah letak semua konsep-konsep matematika, misalnya letak bilangan 1? Banyak para pakar matematika, misalnya para pakar Teori Model (lihat model matematika) yg juga mendalami filosofi di balik konsep-konsep matematika bersepakat bahwa semua konsep-konsep matematika secara universal terdapat di dalam pikiran setiap manusia.

Jadi yang dipelajari dalam matematika adalah berbagai simbol dan ekspresi untuk mengkomunikasikannya. Misalnya orang Jawa secara lisan memberi simbol bilangan 3 dengan mengatakan "Telu", sedangkan dalam bahasa Indonesia, bilangan tersebut disimbolkan melalui ucapan "Tiga". Inilah sebabnya, banyak pakar mengkelompokkan matematika dalam kelompok bahasa, atau lebih umum lagi dalam kelompok (alat) komunikasi, bukan sains.

Dalam pandangan formalis, matematika adalah penelaahan struktur abstrak yang didefinisikan secara aksioma dengan menggunakan logika simbolik dan notasi matematika; ada pula pandangan lain, misalnya yang dibahas dalam filosofi matematika.

Struktur spesifik yang diselidiki oleh matematikawan sering kali berasal dari ilmu pengetahuan alam, dan sangat umum di fisika, tetapi matematikawan juga mendefinisikan dan menyelidiki struktur internal dalam matematika itu sendiri, misalnya, untuk menggeneralisasikan teori bagi beberapa sub-bidang, atau alat membantu untuk perhitungan biasa. Akhirnya, banyak matematikawan belajar bidang yang dilakukan mereka untuk sebab estetis saja, melihat ilmu pasti sebagai bentuk seni daripada sebagai ilmu praktis atau terapan.

Matematika tingkat lanjut digunakan sebagai alat untuk mempelajari berbagai fenomena fisik yg kompleks, khususnya berbagai fenomena alam yang teramati, agar pola struktur, perubahan, ruang dan sifat-sifat fenomena bisa didekati atau dinyatakan dalam sebuah bentuk perumusan yg sistematis dan penuh dengan berbagai konvensi, simbol dan notasi. Hasil perumusan yang menggambarkan prilaku atau proses fenomena fisik tersebut biasa disebut model matematika dari fenomena.

Ikhtisar dan sejarah matematika

Untuk lebih jelasnya lihat pada artikel sejarah matematika .

Kata "matematika" berasal dari kata μάθημα(máthema) dalam bahasa Yunani yang diartikan sebagai "sains, ilmu pengetahuan, atau belajar" juga μαθηματικός (mathematikós) yang diartikan sebagai "suka belajar".

Disiplin utama dalam matematika didasarkan pada kebutuhan perhitungan dalam perdagangan, pengukuran tanah dan memprediksi peristiwa dalam astronomi. Ketiga kebutuhan ini secara umum berkaitan dengan ketiga pembagian umum bidang matematika: studi tentang struktur, ruang dan perubahan.

Pelajaran tentang struktur dimulai dengan bilangan, pertama dan yang sangat umum adalah bilangan natural dan bilangan bulat dan operasi arimetikanya, yang semuanya itu dijabarkan dalam aljabar dasar. Sifat bilangan bulat yang lebih mendalam dipelajari dalam teori bilangan.

Investigasi metode-metode untuk memecahkan persamaan matematika dipelajari dalam aljabar abstrak, yang antara lain, mempelajari tentang ring dan field, struktur yang menggeneralisasi sifat-sifat yang umumnya dimiliki bilangan. Konsep vektor, digeneralisasi menjadi vektor ruang dipelajari dalam aljabar linier, yang termasuk dalam dua cabang: struktur dan ruang.

Ilmu tentang ruang berawal dari geometri, yaitu geometri Euclid dan trigonometri dari ruang tiga dimensi (yang juga dapat diterapkan ke dimensi lainnya), kemudian belakangan juga digeneralisasi ke geometri Non-euclid yang memainkan peran sentral dalam teori relativitas umum. Beberapa permasalahan rumit tentang konstruksi kompas dan penggaris akhirnya diselesaikan dalam teori Galois.

Bidang ilmu modern tentang geometri diferensial dan geometri aljabar menggeneralisasikan geometri ke beberapa arah:: geometri diferensial menekankan pada konsep fungsi, buntelan, derivatif, smoothness dan arah, sementara dalam geometri aljabar, objek-objek geometris digambarkan dalam bentuk sekumpulan persamaan polinomial. Teori grup mempelajari konsep simetri secara abstrak dan menyediakan kaitan antara studi ruang dan struktur. Topologi menghubungkan studi ruang dengan studi perubahan dengan berfokus pada konsep kontinuitas.

Mengerti dan mendeskripsikan perubahan pada kuantitas yang dapat dihitung adalah suatu yang biasa dalam ilmu pengetahuan alam, dan kalkulus dibangun sebagai alat untuk tujauan tersebut. Konsep utama yang digunakan untuk menjelaskan perubahan variabel adalah fungsi. Banyak permasalahan yang berujung secara alamiah kepada hubungan antara kuantitas dan laju perubahannya, dan metoda untuk memecahkan masalah ini adalah topik dari persamaan differensial.

Untuk merepresentasikan kuantitas yang kontinu digunakanlah bilangan riil, dan studi mendetail dari sifat-sifatnya dan sifat fungsi nilai riil dikenal sebagai analisis riil. Untuk beberapa alasan, amat tepat untuk menyamaratakan bilangan kompleks yang dipelajari dalam analisis kompleks. Analisis fungsional memfokuskan perhatian pada (secara khas dimensi tak terbatas) ruang fungsi, meletakkan dasar untuk mekanika kuantum di antara banyak hal lainnya.

Banyak fenomena di alam bisa dideskripsikan dengan sistem dinamis dan teori chaos menghadapi fakta yang banyak dari sistem-sistem itu belum memperlihatkan jalan ketentuan yang tak dapat diperkirakan.

Agar menjelaskan dan menyelidiki dasar matematika, bidang teori pasti, logika matematika dan teori model dikembangkan.

Saat pertama kali komputer disusun, beberapa konsep teori yang penting dibentuk oleh matematikawan, menimbulkan bidang teori komputabilitas, teori kompleksitas komputasional, teori informasi dan teori informasi algoritma. Kini banyak pertanyaan-pertanyaan itu diselidiki dalam ilmu komputer teoritis. Matematika diskret ialah nama umum untuk bidang-bidang penggunaan matematika dalam ilmu komputer.

Bidang-bidang penting dalam matematika terapan ialah statistik, yang menggunakan teori probabilitas sebagai alat dan memberikan deskripsi itu, analisis dan perkiraan fenomena dan digunakan dalam seluruh ilmu. Analisis bilangan menyelidiki teori yang secara tepat guna memecahkan bermacam masalah matematika secara bilangan pada komputer dan mengambil kekeliruan menyeluruh ke dalam laporan.

Pengertian Trigonometri Matematika Kelas 3 > Trigonometri 424 <> Sesudah > PENGERTIAN Pada segitiga siku-siku berlaku dalil phitagoras. Sin a = a/c Cos a = b/c tg a = a/b cosec a = c/a sec a = c/b ctg a = b/a HUBUNGAN-HUBUNGAN ctg a = 1/tg a sec a = 1/cos a cosec a = 1/sin a tg a = sin a / cos a sin2 a + cos2 a = 1 tg2 a + 1 = sec2 a

Rumus-Rumus Trigonometri Matematika Kelas 3 > Trigonometri	430
<> Sesudah >
PENJUMLAHAN DUA SUDUT (a + b) sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b tg(a + b ) = tg a + tg b 1 - tg2a SELISIH DUA SUDUT (a - b) sin(a - b) = sin a cos b - cos a sin b cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b tg(a - b ) = tg a - tg b 1 + tg2a SUDUT RANGKAP sin 2a = 2 sin a cos a cos 2a = cos2a - sin2 a = 2 cos2a - 1 = 1 - 2 sin2a tg 2a = 2 tg 2a 1 - tg2a sin a cos a = ½ sin 2a cos2a = ½(1 + cos 2a) sin2a = ½ (1 - cos 2a) Secara umum : sin na = 2 sin ½na cos ½na cos na = cos2 ½na - 1 = 2 cos2 ½na - 1 = 1 - 2 sin2 ½na tg na = 2 tg ½na 1 - tg2 ½na JUMLAH SELISIH DUA FUNGSI YANG SENAMA BENTUK PENJUMLAHAN ® PERKALIAN sin a + sin b = 2 sin a + b cos a - b 2 2 sin a - sin b = 2 cos a + b sin a - b 2 2 cos a + cos b = 2 cos a + b cos a - b 2 2 cos a + cos b = - 2 sin a + b sin a - b 2 2 BENTUK PERKALIAN ® PENJUMLAHAN 2 sin a cos b = sin (a + b) + sin (a - b) 2 cos a sin b = sin (a + b) - sin (a - b) 2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a - b) - 2 sin a cos b = cos (a + b) - sin (a - b) PENJUMLAHAN FUNGSI YANG BERBEDA Bentuk a cos x + b sin x Merubah bentuk a cos x + b sin x ke dalam bentuk K cos (x - a) a cos x + b sin x = K cos (x-a) dengan : K = Öa2 + b2 dan tg a = b/a Þ a = ... ? Kuadran dari a ditentukan oleh kombinasi tanda a dan b sebagai berikut I II III IV a + - - + b + + - - keterangan : a = koefisien cos x b = koefisien sin x PERSAMAAN I. sin x = sin a Þ x1 = a + n.360° x2 = (180° - a) + n.360° cos x = cos a Þ x = ± a + n.360° tg x = tg a Þ x = a + n.180° (n = bilangan bulat) II. a cos x + b sin x = c a cos x + b sin x = C K cos (x-a) = C cos (x-a) = C/K syarat persamaan ini dapat diselesaikan -1 £ C/K £ 1 atau K² ³ C² (bila K dalam bentuk akar) misalkan C/K = cos b cos (x - a) = cos b (x - a) = ± b + n.360° ® x = (a ± b) + n.360°